Золотое сечение: происхождение феномена

В статье речь идет об известном феномене золотой пропорции (золотого сечения). Предполагается, что читатели достаточно хорошо знакомы с явлением и поэтому нет необходимости в описании специфики феномена. Во всяком случае, перед чтением статьи было бы очень полезно ознакомиться с прекрасной книгой Марио Ливио «f – число Бога. Золотое сечение – формула мироздания» и осуществить миниликбез по числам Фибоначчи.

Во-многих работах, посвященных ряду Фибоначчи, считается, что золотая пропорция - это проявление универсальной гармонии структурного и функционального совершенства целого и его частей в природе.

В большинстве работ на тему золотого сечения отмечается отсутствие удовлетворительного научного обоснования причин данного феномена. Некоторые авторы полагают, что в природе существует какой-то еще неизвестный нам принцип формирования естественных систем, Предполагается, что причины явления могут лежать на поверхности. Просто на эту поверхность нужно посмотреть новым взглядом.

Вот тут-то авторам работ, посвященных золотому сечению, и вообще всем любителям чисел Фибоначчи, можно посодействовать.

Книжное издательство «Моя строка» издало небольшую книгу Н.Аксютина «Естественные системы. Концепция формирования. Золотая пропорция», ISBN 97859500337-42, Санкт-Петербург, 2017г.

Книга посвящена разработке концепции (далее «Концепция…») формирования естественных (природных) систем. Поскольку феномен золотой пропорции проявляется при формировании естественных систем, автору пришлось попытаться выяснить его причины. Что и было сделано, поскольку с точки зрения предлагаемой концепции причинная сторона явления достаточно хорошо просматривается.

Далее излагаются положения книги, касающиеся золотой пропорции.

Общие положения

«Концепция…» позволяет предложить версию появления феномена при формировании естественных систем (а также и сложных явлений). При этом учитывалось следующее.

Первое. Все естественные системы не возникают внезапно в законченном виде, а формируются путем эволюции от простых форм к сложным, последовательно от уровня к уровню, от первого (низшего) уровня - к стационарному. Возникновение первого уровня есть, скорее всего, результат бифуркации в соответствии с положениями синергетики. Последующее формирование системы есть ее эволюционное по уровневое усложнение с сохранением первоначальной структуры. Такие системы являются фракталами. Ряд Фибоначчи (далее NF) – фрактал.

Второе. Широкий диапазон физических условий проявления феномена в природе позволяет утверждать, что явление имеет системный характер и не связано с физической (материальной) сущностью участвующих в нем объектов. А именно, речь идет о соотношении между частями объекта и объектом в целом при объединении их в единую систему.

Третье. Ряд количественных характеристик природных объектов с феноменом золотого сечения определяется числами ряда Фибоначчи и постоянными Фибоначчи. Это обстоятельство позволяет объединить указанные объекты в множество объектов, сформированных по единому системному принципу, определяемого принципом организации NF.

Четвертое. Формирование каждой естественной системы начинается с образования первого (самого низшего) уровня из каких-то первичных элементов. Физическая суть этих элементов различна для различных систем. Математическим отображением первичных элементов в NF является одна из двух пар чисел (0, 1) или (1,1).Какая из них – значения не имеет. Эти пары алгоритмически не относятся к ряду, но являются сырьем для образования последующих членов ряда.

Фрактальность естественных систем определяет структурную инвариантность всех уровней, а количество первичных элементов и структура первого уровня определяют блочную структуру всех уровней и системы в целом. Каждый уровень состоит из двух блоков (см. выражение для произвольного члена NF).

Но почему именно два первичных элемента, а не три, или пять, или еще сколько-нибудь? Философский вопрос, на него и философский ответ. Математика есть отображение самых общих свойств объектов и явлений природы. Соответственно, она отображает реально существующие стороны природы и не отражает того, чего в природе нет. Это означает, что  в природе преобладают системы с двух блочными уровнями. Системы с многоблочными уровнями скорее исключение, чем правило.

Системы NF (системы Фибоначчи)

Положения «Концепции…» позволяет представить NF как многоуровневую иерархическую систему. Каждое число из NF есть уровень, которой состоит из двух разных блоков. Назовем такую систему системой NF (системой Фибоначчи). Свойства этой системы отображают общие свойства всех естественных систем, в которых наблюдается явление золотого сечения. А именно – многоуровневую иерархическую структуру, двухблочность всех уровней, неравенство блоков в уровнях, единый принцип формирования всех уровней, определение многих количественных характеристик NF.

Наличие общей группы свойств свидетельствует о наличии общего принципа формирования таких систем.

В книге приведены структурная схема системы NF, схема связей между уровнями и схема формирования уровней системы. В схемах показано:

система NF есть многоуровневая двух блочная структура, реализованная по схеме «вложения» (матрешка), т.е. верхние уровни содержат все нижние. Произвольный уровень An определяется выражением

An= An1 + An2 =∑Ank, k = 1,2

где An1, An2 , Ank есть блоки уровня. Символы «+» и «∑» означают, что блоки формируют структуру уровня. Эти же символы применительно к NF означают алгебраическое суммирование.

Блок Ат1 будем полагать мажорным (большим), блок Аn2 – минорным (меньшим). Это существенно;

каждый уровень имеет четыре связи, две от нижестоящих уровней и две к вышестоящим;

формирование системы осуществляется последовательным преобразованием предыдущего уровня в последующий, посредством комплекса однотипных для всех уровней операций. Этот комплекс операций назовем оператором NF (оператором Фибоначчи).

Оператор NF

Оператор NF должен обеспечивать:

- формирование многоуровневой иерархической системы;

- преобразование предыдущего уровня в последующий, с сохранением структуры связей между уровнями и блоками;

- формирование каждого уровня системы в виде 2-х неравных блоков;

- не противоречить принципу формирования NF;

- быть реализуемым в среде физических объектов (а не только в цифре);

- быть единым для всех уровней иерархии системы

Оператор состоит из двух операций:

операции формирования блоков последующего уровня;

операции формирования структуры этого уровня.

Оператор NF выглядит так:

An = ∑[Ank] = ∑([Qx]×[An-1k]), где Qx- матрица Хоггатта,.

[Ank] и [An-1k] - матрицы уровней An и An-1.

Естественно полагать, что раз оператор построен на принципах NF, то и создаваемая им система будет так или иначе обладать свойствами NF.

Операция формирования структуры (символ ∑ ) определяется свойствами первичных элементов и условиями существования, в общем виде не поддается формализации и определяется природой естественным путем. В нашем случае функции природы исполним мы сами.

Применительно к NF операция формирования структуры есть суммирование 2-х чисел, отображающих блоки уровня.

Выражение для операции формирования блоков определяется уравнением оператора NF, сформулированного применительно к NF, и имеет вид:

[Ank] = [Qx]×[An-1k], отсюда

An1 = An-11+ An-12

An2 = An-11

Читатель, знакомый с NF, увидит, что последние два равенства есть не что иное, как переформатированное выражение для общего члена ряда.

Формирование системы NF

Формирование системы осуществляется последовательным созданием уровней посредством оператора NF.

Уточним обозначения. Самостоятельно существующие фрагменты (вне блока или уровня) будем обозначать символами a1, a2, An -1 и др. без скобок. Эти же фрагменты в составе блока или уровня в виде какой-то структуры обозначаются этими же символами в каких-либо скобках : [a1,

a2 ], (An-1). Стрелка → обозначает «преобразование» (одного в другое).

Физическая природа первичных элементов не играет роли. Это могут быть кубики, шарики, китайские фонарики и т.д. Могут быть и цифры. Требуется показать применимость оператора для формирования физических систем.

Действие оператора начинается после формирования первого уровня из первичных элементов

Формирование первого уровня

Первый уровень формируется в соответствии со свойствами первичных элементов, законами природы и условиями существования.

А11 =а1, А21= а2. ; А1 →(A11, A21) → (a1, a2)

Формирование последующих уровней осуществляется посредством оператора NF.

Формирование второго уровня:

Первая операция – формирование блоков второго уровня:

A12 = A1 = (A11, A21) = (a1, a2); A22 =A21 = a2.

Вторая операция – формирование второго уровня:

A2 = [A12, A22] = [(a1 , a2)(a2)].

Формирование третьего уровня: A3 = [A13, A23]

Первая операция – формирование блоков третьего уровня

A13 = A2 =[(a1 , a2)(a2)], A23 =A22 =(a1, a2)

Вторая операция – формирование третьего уровня:

A3 = {[(a1 , a2)(a2)], (a1, a2)}

Последующие уровни формируются аналогично.

Для произвольного уровня Аn имеем:

An =(A1n, A2n) = (An-1, A1n-1)

Детализировать последнее выражение до первичных элементов  нет ни смысла, ни необходимости. Предположим, что первичные элементы кубики. Это означает, что а1 = а2 = 1, и оператор сформирует систему с блоками и уровнями, приведенными в табл.1. Цифры в графах таблицы означают количество кубиков в блоках и уровнях ( уровень A0 к системе не относится).

Табл. 1

№ уровня A0 A1 A2 A3 A4 A5

An1 1 1 2 3 5 8

An2 1 1 1 2 3 5

An - 2 3 5 8 13

Если положить а1 =1, а2 =0, то оператор сформирует систему из чисел, параметры которой приведены в табл.2

Табл. 2

№ уровня A0 A1 A2 A3 A4 A5

An1 1 1 1 2 3 5

An2 0 0 1 1 2 3

An - 1 2 3 5 8

Как следует из таблиц, числовые характеристики всех компонент системы и самой системы формируются как NF.

Из процедуры формирования системы оператором NF видно, что числовые характеристики фрагментов системы (элементов, блоков, уровней) не влияют на формирование системы, ее составных частей и постоянных Фибоначчи. Определяющую роль играет последовательность операций, процедура формирования системы (оператор NF).

Все природные системы, в которых присутствует феномен золотой пропорции, сформированы по процедурам, структура которых определяется оператором NF. Процесс формирования и фрактальность системы определяет и ее структуру. Для природы оператор NF есть один из естественных способов создания сложных структурированных систем. И может быть - единственный.

Таким образом, ряд Фибоначчи можно считать математическим абстрактным отображением структуры и процесса формирования естественных многоуровневых иерархических 2-х блочных систем.

Постоянные Фибоначчи – обобщенные характеристики системы, сформированной в соответствии с приведенным

выше оператором. Постоянные Фибоначчи определяют количественные взаимосвязи между сходственными параметрами соседних блоков и уровней системы и являются мировыми константами.

Золотая пропорция является следствием системного единства процесса формирования и единства системной структуры естественных объектов.

Является ли оператор NF единственным способом формирования сложных естественных систем? Вряд ли. Во всяком случае, никаких запретов на многообразие процессов формирования сложных систем в природе не просматривается.

Оператор NF сформирован естественным отбором из совокупности многих возможных способов формирования сложных естественных систем. При отборе преимущества имеет оператор, формирующий более устойчивые и жизнеспособные системы. Распространенность объектов с золотой пропорцией свидетельствует о повышенной устойчивости и жизнеспособности систем NF в условиях. нашего участка Вселенной.

Может вызвать вопросы тот факт, что простой оператор порождает сложнейшие системы, такие, как организмы растений и животных , другие сложные системы, такие как разум, сознание, экономика. Вполне возможно, скорее вероятно, что реальная естественная система с признаками золотой пропорции является композицией комплекса систем NF, системой много уровневой и ветвящейся. При этом каждая ветвь формируется тоже оператором NF. Устойчивость таких систем и обеспечивает их сложность.

Положения «Концепции,..» позволяют сделать некоторые предположения о сути такого не очень понятного явления, как «красота». Так что же это такое?

Что такое красота

В литературе утверждается, что красота – это ощущение универсальной гармонии структурного и функционального совершенства частей и целого в природе. Осталось только выяснить, каков механизм этого ощущения, каким образом осуществляется интуитивное отличие совершенного от несовершенного. При этом физиологию трогать не будем.

Известно, что пропорции человеческого тела во многом соответствуют золотому сечению. Это значит, что организм и все его составные части есть сложные естественные системы, сформированные естественным путем как системы NF. Золотая пропорция заложена у нас внутри в каждой, даже самой мелкой части нашего организма.

Кроме того, в организме существует механизм восприятия отличия структуры наблюдаемого объекта от структуры нашего организма. Как работает этот механизм сказать трудно. Но он есть. Этот механизм оценивает не структуру наблюдаемого объекта, а отклонение его структуры от структуры наблюдателя. Если отклонений нет – выдается сигнал, вызывающий ощущение красоты объекта. Если отклонения есть, выдается сигнал об отличии его пропорций от золотой пропорции. Уровень сигнала зависит от величины отклонения и может стимулировать ощущения от «красиво» до «отвратительно».

Можно привести пример. Имеем два сказочных персонажа – девицу-красу и бабу-ягу. Оба персонажа структурно совершенно одинаковы – у каждой по одной голове, по два глаза, два уха, один нос, один рот и т.д. Структурно неразличимы. Тем не менее. отличия налицо – пропорции лиц различны и смотрятся персонажи по -  разному. Девица-краса ближе к нормальным человеческим пропорциям и, следовательно, к золотой пропорции. Поэтому и красива. Про бабу-ягу этого не скажешь, не те пропорции.

Конечно, предложенное объяснение красоты слишком схематично Красота - это тоже сложное явление, но суть именно в этом. Если бы мы были сформированы по принципу отличному от оператора NF, то наши представления о красоте были бы совершенно иными.

Эволюционно механизм восприятия красоты предназначен, по видимому, для выделения «своего» от чего-то совершенно чуждого и, возможно, опасного.

Резюме по статье

Золотая пропорция является следствием системного единства процесса формирования и единства системной структуры естественных объектов.

Объекты природы формируются просто: при уровневом представлении объекта каждый последующий уровень формируется из текущего прибавлением к нему предыдущего (Fn+1 = Fn + Fn-1)

Николай Степанович Аксютин